Il fiocco di neve di Koch è facile da descrivere

Il fiocco di neve di Koch può essere descritto in modo sorprendentemente semplice: lo spettro della scienza

Il mondo delle formule di Freestetter: Il fiocco di neve più complesso del mondo

Fenomeni complessi possono spesso essere descritti matematicamente in modi inaspettatamente semplici. Ma dietro questa semplicità si nascondono mondi sorprendentemente diversi.

Fiocchi di neve — © Instants / Getty Images / iStock (dettagli)

Una varietà di cose interessanti si possono trovare nella geometria frattale. Una delle più famose è la curva di Koch, spesso chiamata fiocco di neve di Koch. Questa è una linea infinitamente lunga ma copre solo un'area limitata.

Capanna del fiocco di neve

L’intero processo può anche essere descritto utilizzando la formula:

Tuttavia, per capirli è necessario un po’ di contesto. I seguenti due simboli “-” indicano che questa non è una regola aritmetica. Piuttosto, l'espressione fa parte di quello che viene chiamato il sistema Lindenmayer. Questo formalismo risale al biologo ungherese Aristid Lindenmayer, che voleva utilizzarlo per descrivere matematicamente l'evoluzione degli organismi. Il sistema Lindenmayer (o sistema L) consiste formalmente in una lista contenente un “alfabeto”, cioè caratteri che possono essere interpretati come variabili e costanti. C'è bisogno anche di un assioma o “parola iniziale” e di molte regole di produzione o sostituzione.

I trucchi matematici più leggendari, i peggiori ostacoli nella storia della fisica e tutti i tipi di formule di cui quasi nessuno riesce a vedere il significato nascosto: questi sono gli abitanti del mondo delle formule di Freestetter.
Tutte le puntate della sua rubrica settimanale, che appare ogni domenica, le trovate qui.

Espressione strana con molto Fs è anche una base alternativa. Appartiene al sistema L della curva di Koch. I simboli “+” e “-” indicano la rotazione in senso antiorario e orario (in questo caso 60 gradi). Quindi la regola di produzione dice: avanzare di una certa distanza (F significa “avanti”), girare di 60 gradi in senso antiorario, andare ancora un po' avanti, girare due volte di 60 gradi in senso orario, andare ancora avanti, girare di nuovo di 60 gradi in senso antiorario e camminare in avanti un'ultima volta. È facile vedere che ciò fa sì che il segmento richiesto per la curva di Koch venga sostituito da un triangolo.

Dalle alghe ai frattali

Nel 1968 Aristide Lindenmayer non era interessato all'ingegneria, ma alla coltivazione di alghe. Notò che le loro cellule potevano trovarsi in due stati diversi: lo stato riproduttivo UN O in uno stato di crescita B. È in buone condizioni? UNSi dividerà in due cellule, una nello stato riproduttivo e una nello stato di crescita. Nel caso B Diventa uno stato riproduttivo UN Sviluppare. Oppure, se lo esprimi nelle regole di sostituzione appropriate: (A → a b) E (b → a). Inizi con una cella nello stato UNe quindi si sviluppa in lontano. diventa questo Abba. Allora ottieni Abbaabdopo di che Abbabababa -eccetera.

I sistemi L sono adatti per studiare la crescita di organismi multicellulari; In particolare, la crescita delle piante può essere modellata realisticamente. Tuttavia, c'è molto più potenziale in esso; Trovano applicazione nell'informatica teorica, nella geometria frattale e nello studio della vita artificiale. Anche se inizi con pochi elementi base e semplici regole, alla fine arriverai a qualcosa di straordinario. La complessità che ne può derivare non è da sottovalutare.

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Saveria Marino

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